包絡線の方程式 - 球面倶楽部零八式 mark II

$xy$ 平面の曲線群 $f(x,y,t)=0$ の包絡線について考える．

$f(x,y,t)=0$ と $f(x,y,t+dt)=0$ の交点の $dt\to 0$ の極限は $\dfrac{\partial f}{\partial t}(x,y,t)=0$ をみたすので、

連立方程式 $f(x,y,t)=0$ かつ $\dfrac{\partial f}{\partial t}(x,y,t)=0$

を考えれば良く，これから $t$ を消去したものが包絡線の方程式である．

また、この連立方程式から $x，y$ を $t$ で表すと，包絡線のパラメータ表示の式が得られる．